Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

 Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
B. TÌM HIỂU VẤN ĐỀ:
 I. Về nội dung chương trình:
Trong chương trình Hình Học lớp 7 các trường hợp bằng nhau của tam giác 
vuông là các hệ quả được suy ra trực tiếp từ các trường hợp: cạnh- cạnh- 
cạnh, cạnh- góc- cạnh, góc- cạnh- góc và được chia thành bốn trường hợp 
bằng nhau: hai cạnh góc vuông, một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh 
ấy, cạnh huyền và một góc nhọn, cạnh huyền và cạnh góc vuông. Ngoài ra, 
các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông còn được viết dưới nhiều dạng 
bài tập thể hiện trong sách giáo khoa hay các tài liệu tham khảo
 II. Về thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm giảng dạy môn toán lớp 7 và qua tìm hểu từ phía học sinh tôi 
biết được đa số học sinh làm tốt các dạng bài tập: bài tập về nhận biết hai tam 
giác bằng nhau trên hình vẽ cho sẵn có đủ điều kiện, bài tập về vận dụng 
chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau ở mức độ đơn giản.
Bên cạnh đó, còn nhiều học sinh chưa làm tốt dạng bài tập thông qua chứng 
minh hai tam giác vuông bằng nhau để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, 
hai góc bằng nhau, hai đường thẳng song song... tương đối phức tạp. Mặt 
khác, nhiều em chưa có thói quen phân tích kĩ đề bài để xác định đâu là giả 
thiết? đâu là kết luận của bài toán? Thậm chí có em còn nhầm lẫn giữa giả 
thiết và kết luận, từ đó dẫn đến việc vẽ hình chưa chính xác hoặc vẽ hình 
không đúng yêu cầu của đề bài. Đa số các em còn chưa biết cách trình bày 
một bài toán chứng minh hoặc trình bày còn sơ sài, chưa hợp lôgic, cũng có 
em không biết các bước cơ bản khi thực hiện chứng minh một bài toán hình 
học nên không biết mình cần phải làm gì? Và xuất phát từ đâu?
Trước thực trạng này, tôi tiến hành khảo sát chất lượng để kiểm tra lại kiến 
thức cũng như kỹ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau của 111 
học sinh lớp 7 ở 3 lớp tôi giảng dạy như sau:
* Đề khảo sát chất lượng (thời gian 45 phút):
 *Trắc nghiệm khách quan: ( 4 điểm)
 Trong các câu sau đây, câu nào đúng câu nào sai?
 Câu 1: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh 
huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó 
bằng nhau.
 Câu 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông này 
bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam 
giác vuông đó bằng nhau.
 Câu 3: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc 
vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Câu 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng 
cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác 
vuông đó bằng nhau.
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC ( H BC ). Khi 
đó ta kết luận được HB = HC
 2 Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
 2.Trường hợp 2: 
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này 
bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia 
thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. 
 B E
Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF có:
 AC=DF
 Cµ F
Thì ABC= DEF (cạnh góc vuông- góc nhọn kề)
 D F
 A C
 3.Trường hợp 3: 
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền 
và một giác nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng 
nhau. 
 B E
 Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF có: 
BC = EF 
 Bµ F
 Thì ABC= DEF (cạnh huyền- góc nhọn) A C D F
 4.Trường hợp 4: 
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh 
huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông 
đó bằng nhau.
 Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF có:
 BC = EF (cạnh huyền)
 AC = DF
Thì ABC= DEF (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
 B E
 A C D F
 II. Ôn tập kiến thức có liên quan:
 1.Kiến thức liên quan thường sử dụng: 
 - Các trường hợp bằng nhau của tam giác: cạnh - cạnh- cạnh, 
 cạnh -góc – cạnh, góc – cạnh- góc.
- Định nghĩa hai tam giác bằng nhau.
 4 Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
 B E
 ? Hai tam giác
 bằng nhau
 A D F
 C
 - GV: Hai tam giác vuông trên nếu biết một cạnh góc vuông bằng nhau 
 thì cần bổ sung thêm điều kiện gì để trở thành hai tam giác bằng nhau? 
 Vì sao?
 - HS: Cần bổ sung thêm cạnh góc vuông thứ hai bằng nhau hoặc một 
 góc nhọn kề với cạnh góc vuông đó bằng nhau hoặc cạnh huyền bằng 
 nhau.
 Học sinh giải thích bằng cách điền kí hiệu vào hình vẽ để được hai tam 
 giác bằng nhau như sau:
Cạnh góc vuông thứ hai
 bằng nhau
 B E
 B E
 A C D F A C D F
 ABC= DEF (cạnh góc vuông- cạnh góc vuông)
 Hay ABC= DEF (c.g.c)
 Một góc nhọn kề với cạnh góc vuông ấy bằng nhau
 B E B E
 A C D F A C D F
 ABC= DEF (cạnh góc vuông- góc nhọn kề)
 Hay ABC= DEF (g.c.g)
 Cạnh huyền bằng nhau
 6 Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
 Một góc nhọn bằng nhau
 ABC= DEF (cạnh huyền - góc nhọn)
 Hay ABC= DEF (g.c.g)
 3. Dạng 3: Hai tam giác vuông biết một góc nhọn bằng nhau:
 B E
 ?
 Hai tam giác
 bằng nhau
 A C D F
 - GV: Hai tam giác vuông trên nếu biết một góc nhọn bằng nhau thì 
 cần bổ sung thêm điều kiện gì để trở thành hai tam giác bằng nhau? Vì 
 sao?
 - HS: Cần bổ sung thêm một cạnh góc vuông kề với góc nhọn đó bằng 
 nhau hoặc cạnh huyền bằng nhau.
 Học sinh giải thích bằng cách điền kí hiệu vào hình vẽ để được hai tam 
 giác bằng nhau như sau:
Một cạnh góc vuông 
 kề với góc nhọn ấy 
 bằng nhau
 B E B E
 A C D F A C D F
 ABC= DEF (cạnh góc vuông- góc nhọn kề)
Hay ABC= DEF (g.c.g)
 Cạnh huyền bằng nhau
 B E B E
 A C D F A C D F
 8 Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
có thể gợi ý như sau:
 Các cạnh AH, BH gọi là các cạnh - AH, BH là hai cạnh góc vuông của 
gì của tam giác vuông ABH và tam giác vuông ABH và AH, CH là hai 
AH, CH gọi là các cạnh gì của tam cạnh góc vuông của tam giác vuông 
giác vuông ACH? ACH.
- Yêu cầu HS trình bày hoàn chỉnh *Chứng minh:
nội dung cần chứng minh: Xét hai tam giác vuông ABH và ACH 
 ABH = ACH có:BH = CH (gt)
 AH là cạnh chung
 Vậy: ABH = ACH (cạnh góc vuông-
 cạnh góc vuông)
* Hình 2: 
- Hai tam giác DEK và DFK có DEK = DFK theo trường hợp 2
bằng nhau không? (cạnh góc vuông và góc nhọn kề)
Nếu có thì bằng nhau theo trường 
hợp nào?
* Hình 3: 
- Hai tam giác ABD và ACD có ABD = ACD theo trường hợp 3 
bằng nhau không? (cạnh huyền- góc nhọn)
Nếu có thì bằng nhau theo trường 
hợp nào?
* Hình 2, hình 3 cũng đặt các câu 
hỏi tương tự như hình 1. Từ đó 
yêu cầu học sinh:
 - Hãy chứng minh DEK = DFK * Chứng minh:
 và ABD = ACD ? * Hình 2:
 Xét hai tam giác vuông DEK và DFK 
 có: DK là cạnh chung
 E· DK F· DK (gt)
 Vậy: DEK = DFK (cạnh góc vuông- 
 góc nhọn kề)
 * Hình 3:
 Xét hai tam giác vuông ABD và ACD 
 có: AD cạnh chung (cạnh huyền)
 B· AD C· AD (gt)
 Vậy: ABD = ACD (cạnh huyền- 
 góc nhọn)
* Hình 4:
- Trên hình có các tam giác vuông - Trên hình 4 có 6 tam giác vuông là 
nào? ABD và ACD , DBE và DCH , 
- Hãy chứng minh các cặp tam ABH và ACE
giác đó bằng nhau? *Chứng minh:
 Xét hai tam giác vuông ABD và ACD 
 10 Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Tại sao ở đây không thể áp dụng
trường hợp cạnh góc vuông- cạnh góc
vuông để kết luận AHC = BAC ?
 * Giáo viên hướng dẫn học sinh:
Cần kiểm tra xem A· HC và B· AC có phải là góc kề với cạnh AC không
 * Học sinh kiểm tra và trả lời như sau:
 B· AC là góc kề với cạnh AC nhưng A· HC không phải là góc kề với cạnh AC 
nên không thể áp dụng trường hợp cạnh góc vuông- cạnh góc vuông để kết 
luận AHC = BAC .
Sau khi giúp học sinh rèn được “kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng 
nhau” với dạng bài toán có sẵn hình vẽ nhằm giúp học sinh nắm vững các 
trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. Tôi tiếp tục rèn luyện cho học sinh 
với dạng bài tập đòi hỏi các em phải tự vẽ hình, phân tích đề, phải tư duy, 
phải biết liên hệ với kiến thức đã biết để vận dụng vào “chứng minh hai tam 
giác vuông bằng nhau” thông qua việc giải các bài tập về chứng minh hai 
đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau,... được nâng dần từ cơ bản đến 
nâng cao.
 2. Bài tập chưa cho hình vẽ:
* Bài tập 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm M nằm trên đường trung trực của AB. 
So sánh độ dài các đoạn thẳng MA và MB.
 Giáo viên hướng dẫn học sinh:
 HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
 - Giáo viên lần lượt đặt câu hỏi - Học sinh lần lượt trả lời các câu hỏi
 * Bước 1:
 - Hãy xác định giả thiết, kết luận - Giả thiết: Cho đoạn thẳng AB, điểm 
 bằng lời? M nằm trên đường trung trực của AB.
 Kết luận: So sánh MA và MB
 - Đường trung trực của đoạn thẳng - Đường trung trực của đoạn thẳng AB 
 AB là gì? là đường thẳng vuông góc tại trung 
 điểm của đoạn thẳng AB.
 * Bước 2: d
 - Hãy vẽ hình minh họa dựa vào - Học sinh vẽ hình M
 giả thiết đã cho?
 - Giáo viên nhận xét hình vẽ và 
 sửa sai (nếu có) A H B
 - Dự đoán độ dài của MA và MB? - Dự đoán MA = MB
 12 Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Khi HS đã chứng minh được bài tập đơn giản, tôi sẽ hướng dẫn HS chứng 
minh những bài toán khó hơn và yêu cầu các em tự trình bày lại bài chứng 
minh theo hướng dẫn.
 * Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt 
nhau ở I. Vẽ ID  AB (D AB) , IE  BC (E BC), IF  AC (F AC) . Chứng minh 
rằng ID = IE = IF.
 Giáo viên hướng dẫn học sinh:
 HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
 * Bước 1:
 - Hãy xác định giả thiết, kết luận - Giả thiết: Cho tam giác ABC. Các tia 
 bằng lời? phân giác của các góc B và C cắt nhau ở 
 I. Vẽ ID vuông góc với AB (D thuộc 
 AB), vẽ IE vuông góc với BC (E thuộc 
 BC) , vẽ IF vuông góc với AC ( F thuộc 
 AC)
 - Kết luận: Chứng minh rằng ID bằng 
 IE và bằng IF.
 - Tia phân giác của một góc là gì? - Tia phân giác của một góc là tia nằm 
 giữa hai cạnh của góc đó và tạo với hai 
 * Bước 2: cạnh ấy hai góc bằng nhau.
 - Hãy vẽ hình minh họa dựa vào 
 giả thiết đã cho?
 A
 - Giáo viên lưu ý: Dùng êke vẽ 
 các góc vuông và dùng thước đo F
 góc vẽ tia phân giác cho chính D
 xác I
 - Giáo viên nhận xét hình vẽ và 
 1 1
 sửa sai (nếu có) 2 2
 B E C
 * Bước 3:
 - Hãy viết giả thiết, kết luận bằng - Học sinh viết giả thiết, kết luận
 kí hiệu dựa vào giả thiết đã cho?
 Cho ABC 
 B¶ B¶
 1 2
 C¶ C¶
 GT 1 2
 ID  AB (D AB)
 IE  BC (E BC)
 IF  AC (F AC)
 14 KL ID = IE = IF Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
 (H thuộc AC), vẽ CK vuông góc với 
 AB (K thuộc AB). I là giao điểm của 
 BH và CK. 
 Kết luận: 
 a) Chứng minh rằng: AH bằng AK.
 b) Chứng minh rằng AI là tia phân 
 giác của góc A.
- Hãy nêu định nghĩa tam giác cân? - Tam giác cân là tam giác có hai 
 cạnh bằng nhau.
* Bước 2:
- Hãy vẽ hình minh họa dựa vào giả - Học sinh vẽ hình A
thiết đã cho?
- Giáo viên nhận xét hình vẽ và sửa K H
sai (nếu có)
 I
 B C
* Bước 3:
- Hãy viết giả thiết, kết luận bằng kí - Học sinh viết giả thiết, kết luận dựa 
hiệu dựa vào hình đã vẽ? vào hình vẽ.
 ABC Aµ 900 , AB = AC
 GT BH  AC (H AC), 
 CK  AB (K AB)
 BH  CK=I
 a) AH = AK
 KL b) AI là tia phân giác của 
 góc A
* Bước 4:
- Ở câu a muốn chứng minh - Để chứng minh AH = AK cần chứng 
AH = AK cần chứng minh hai tam minh ABH = ACK .
giác nào bằng nhau? Vì sao? Vì AH và AK là hai cạnh tương ứng 
 của ABH và ACK
- ABH = ACK bằng nhau theo - ABH = ACK theo trường hợp 3 
trường hợp nào? Vì sao? (cạnh huyền- góc nhọn)
 Vì AB = AC ( do tam giác ABC cân 
 tại A) và Aµ là góc chung
- Ở câu b muốn chứng minh AI là - Muốn chứng minh AI là tia phân 
 16